天井撮影日誌

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学部4年の最後に線形代数復習したらめっちゃ驚いた話

 

見るに耐えない1年前の記事はほとんど削除しました。

お久しぶりです。

 

この世で一番数学できないぽんこつクソザコなので線形代数を復習してたら、とてもエレガントな証明を見つけたので勢いでブログにまとめます。

 

線形代数の超基本問題に固有値問題というのがあります。

Avv, v0, ||v||=1

となる固有値λと固有ベクトルvを求める問題です。

Aは任意の行列です。

日本語で書くと、ベクトル空間上で行列Aを掛けても回転しないようなvを求めよって感じでしょうか。

大学生ならご存知だね。

 

典型的な解き方は(AE)v=0にして、

[v=0となってはいけない]

すなわち

[行列(AE)に逆行列が存在してはいけない]

という条件を用いて、行列式det(AE)=0を解きます。

 

さて、

 

ここで行列式は、一般に平方四辺形の面積と表すことができます。

二つのベクトルx=(a, c)^tとy=(b, d)^tとすると、

det(x+y)=ad-bc

となって以下の図みたいになります。

f:id:Kcelebrate:20210226202115p:plain

 

 

 

・・・・。

なんで???

話としては知ってましたが、証明したことはありませんでした。

んでちょっとやってみたら

クッッッッソ苦戦しました。

θを置いてゴリゴリやって結局解くのに十数分かかりました。ホゲー。

この話を研究室で同期と後輩と色々話していたらどちゃくそエッチな証明が見つかりました。

 

 

 

 

f:id:Kcelebrate:20210226202817p:plain

(引用:https://note.com/dr_kano/n/n94dfeb646cad)

 

えっっっっっっっっっろ

 

あまりにエレガントすぎてビビりました。

すごすぎません?僕は驚きました。

行列式から求めるというアプローチではないですが、図的に一発で理解できるのまじでえぐい。

 

ちな、行列式を平行四辺形の面積と考えると、xyの定数倍の時(=空間上で重なってる時)に平行四辺形の面積が0となるので、xyが1次独立じゃないときに行列式が0になることも図的にわかります。

すごい。

 

あと1ヶ月で卒業するのにこんなこともわかってなかったのかとか怒られそうですが、院進する前に知れてよかった。

めでたしめでたし。